Kajiya-Kay & "类 Marschner" 头发高光

本文对比 Kajiya-Kay 经典头发高光模型与「类 Marschner」基于方位角函数的实现，记录两者差异与切换成本。

引言

头发渲染里最经典的就是 Kajiya-Kay 模型，它用「切线在光照平面上的投影」做 specular，计算便宜，效果也还过得去。但要做到更接近真实的高光形态（M 线、长发丝分离），就得上 Marschner 的完整模型。

本文记录：

Kajiya-Kay 的数学推导与 Shader 实现。
「类 Marschner」简化方案：用方位角函数拟合 M 项，避开完整 Marschner 的复杂度。
两者在 URP 里的成本对比与切换踩坑。

Kajiya-Kay 数学推导

Kajiya-Kay（1989）的核心是把头发纤维当作「不透明的细圆柱」，specular 来自圆柱表面的反射。关键数学是切线在光照平面上的投影。

设头发切线方向为 T（沿发丝走向），光照方向 L，观察方向 V，半角 H = normalize(L + V)。 Kajiya-Kay 的 specular 公式：

specular = (sin(T, H))^(exp)

其中 sin(T, H) 是切线 T 与半角 H 的夹角正弦。展开：

sin(T, H) = sqrt(1 - (T·H)²)

这个公式的几何含义：把 T 投影到由 L 和 V 张成的「光照平面」上，得到一个切线分量， specular 强度随这个分量与 H 的夹角余弦的高次幂衰减。exp 控制高光锐度，通常 8~32。

推导细节：圆柱的 specular 本质是「法线沿圆柱周向变化」，而圆柱法线在「垂直切线的圆」上分布。把 H 投影到垂直 T 的平面，得到一个「有效法线」，specular 就是 N·H 的幂。但因为圆柱法线在周向均匀，所以最终退化成 sin(T, H) 而不是 cos。

完整 specular 项：

float KajiyaKaySpecular(float3 T, float3 H, float exponent)
{
    float TdotH = dot(T, H);
    float sinTH = sqrt(max(0.0, 1.0 - TdotH * TdotH));
    return pow(sinTH, exponent);
}

注意 T 要做「切线偏移」：真实头发高光不会严格沿发丝走向，因为头发有鳞片倾斜角（约 3°）。常做法是把 T 沿法线 N 抬一点：

float3 shiftedT = normalize(T + N * _PrimaryShift);

_PrimaryShift > 0 让高光往发根偏（鳞片朝发根倾斜），< 0 往发梢偏。这是 Kajiya-Kay 上做「双高光」（primary + secondary）的常用技巧。

Kajiya-Kay Shader 实现

完整的 Kajiya-Kay diffuse + specular，带双高光偏移：

half3 HairShading_KK(float3 N, float3 T, float3 L, float3 V, half3 baseColor,
                     half shift, half primaryExp, half secondaryExp,
                     half3 specColor1, half3 specColor2)
{
    float3 H = normalize(L + V);
 
    // 切线偏移：primary 和 secondary 用不同 shift
    float3 Tp = normalize(T + N * shift);
    float3 Ts = normalize(T + N * (-shift * 0.5));
 
    // 双高光
    float spec1 = KajiyaKaySpecular(Tp, H, primaryExp);
    float spec2 = KajiyaKaySpecular(Ts, H, secondaryExp);
 
    // diffuse：Kajiya-Kay 用的是 wrapped diffuse，避免背光面全黑
    float NdotL = dot(N, L);
    float diffuse = saturate(NdotL * 0.5 + 0.5);  // wrap diffuse
 
    half3 color = baseColor * diffuse
                + specColor1 * spec1
                + specColor2 * spec2;
    return color;
}

specColor1 通常带一点发色（染色高光），specColor2 偏白（二次高光，模拟发梢反光）。 wrap diffuse 是 Kajiya-Kay 的标配，因为头发不是 opaque，背光面不该全黑。

类 Marschner 简化：方位角函数拟合 M 项

完整 Marschner 把头发当透明椭圆截面，分 R（表面反射）、TT（透射透射）、TRT（透射反射透射）三路。最复杂的是 M 项（纵向散射），它依赖「入射方位角与出射方位角的关系」。

完整 Marschner 要算菲涅尔 + 椭圆截面几何 + 纵向高斯，成本高。「类 Marschner」简化的思路是： 保留 Marschner 的 M 项结构，但用方位角函数拟合替代真实物理积分。

M 项的本质是：纵向平面上，反射方向相对发丝切线的偏角 θr 与入射偏角 θi 的关系。 Marschner 用高斯拟合纵向散射：

M(θr, θi) = exp( −(θr − θr0)² / (2 β²) )

θr0 是反射中心角（和鳞片倾斜有关），β 是粗糙度。这一项等价于「把 Kajiya-Kay 的 power 项换成高斯」。

「类 Marschner」常用的简化（来自 Scheuermann / d'Eon 的工业实现）：

// 纵向角
float cosThetaI = dot(T, L);
float cosThetaR = dot(T, V);
float sinThetaI = sqrt(1 - cosThetaI * cosThetaI);
float sinThetaR = sqrt(1 - cosThetaR * cosThetaR);
 
// 中心反射角：鳞片倾斜 α，入射角 θi → 反射中心 θr = 2α + θi（一次反射）
float centerAngle = 2.0 * _CuticleTilt + cosThetaI; // 简化：用 cos 近似
 
// 高斯 M 项
float M_R = Gaussian(sinThetaR - centerAngle, _BetaR);
float M_TT = Gaussian(sinThetaR + cosThetaI, _BetaTT); // TT 项中心在另一侧
 
// 方位角项 N：用拟合的 cos 函数，避免完整 Fresnel 积分
float N_R  = lerp(0.25, 1.0, saturate(cosThetaR));   // R 项方位角衰减
float N_TT = 0.5;                                     // TT 项近似均匀

Gaussian(x, beta) = exp(-x*x / (2*beta*beta))。这套拟合在移动端跑得动，效果接近 Marschner 的 R + TT 双高光，但 TT 的发梢透光比真 Marschner 弱。

R 项的完整 specular：

float spec_R = M_R * N_R * Fresnel_R(cosThetaI);
float spec_TT = M_TT * N_TT * Fresnel_TT(cosThetaI);

菲涅尔用 Schlick 近似，Fresnel_R 在正面（cosThetaI ≈ 1）约 0.05，掠射增强； Fresnel_TT 在掠射衰减（光进得去才出得来）。

两者成本对比

在 URP（移动端 GLES 3.2）实测：

方案	ALU/像素	贴图采样	效果
Kajiya-Kay 双高光	~25	1（发色图）	过得去，高光位置对，形态偏窄
类 Marschner (R+TT)	~60	1	接近真 Marschner，TT 透光稍弱
完整 Marschner	~150+	1~2	最好，移动端掉帧

Kajiya-Kay 的优势是只要一个 power，ALU 极低；劣势是高光形态固定为一条窄带，没有 TT 的透光（所以背光面头发发黑，要靠 wrap diffuse 补）。类 Marschner 多了 TT 项和高斯拟合，ALU 翻倍但仍在移动端可接受，且 TT 让头发边缘有自然透光，质感明显好一档。

切换踩坑

切线方向约定：Kajiya-Kay 和 Marschner 都要求 T 沿发丝走向，但 Unity 的 tangent 是给法线贴图用的，不一定是发丝走向。要么用 flow map 生成切线，要么在顶点色里存发丝方向。这是 Kajiya-Kay 上来最容易翻车的地方。
双高光 shift 方向：primary shift 正、secondary shift 负，否则两条高光会叠在一起，看不出 Marschner 的「M 线分离」特征。
N·V 朝向：Marschner 的 TT 项在背光面增强，要保证 V 朝向相机时 N·V 为正，别被 URP 的 GetWorldSpaceNormalizeViewDir 带的符号坑了。
高光 gamma：pow(sinTH, exp) 的 exp 在线性空间调，预览在 sRGB 会偏亮，切换 Kajiya-Kay ↔ Marschner 时要重新调 exp 和 β，不能照搬。
背光透光：Kajiya-Kay 没有 TT，背光面靠 wrap diffuse，颜色偏灰；类 Marschner 的 TT 能透出背景色，但 _BetaTT 调大会让高光糊。建议 TT 的 β 比 R 大 2~3 倍。
抗锯齿：高 exp 的 Kajiya-Kay 高光在 MSAA 下会闪烁，因为 sinTH 在发丝边缘跳变。类 Marschner 的高斯形态天然抗锯齿，这是切换后一个意外的好处。

整体建议：移动端先用 Kajiya-Kay 双高光打底，要质感升级再换类 Marschner 的 R+TT。完整 Marschner 留给 PC / 主机。

动效演示

下面用可交互 demo 展示 Kajiya-Kay 高光随切线方向的变化：

Kajiya-Kay 高光强度可用高斯拟合写成：

K_S = K_s \cdot \exp\left(-\frac{\sin^2\theta_{TH}}{2\sigma^2}\right)

其中 $\theta_{TH}$ 为切线 $T$ 与半角 $H$ 的夹角， $\sigma$ 控制高光锐度（等价于 power 模型里的 exponent）。拖动场景观察高光随切线偏移的迁移轨迹。

下面是一段头发高光随光源实时旋转的视频记录：

头发高光实时旋转

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